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核心原理简述
- 名称：循环引理（Cycle Lemma），又称 Dvoretzky–Motzkin 引理，是组合计数中的经典工具。
- 地位：该引理地位重要，常用于解决前缀和约束类的问题，如合法括号串计数、Ballot 投票问题、Dyck 路径等。
- 用途：针对含“+1/–1”步长的序列，统计循环移位后前缀和保持非负（或正）的情况。例如，判断一个环形序列从哪个起点展开能形成合法序列。
- 核心原理：设数列的前缀和总和为正整数
，则恰有 个循环移位使得所有前缀和始终为正。直观上，相当于将序列沿环反复“滑动”，正好 种滑动能保持前缀优势。 - 结构公式：若序列中有
个 “+1” 和 个 “–1”（记作有 个 X 和 个 Y，且 ），那么正有 个循环移位使得任意前缀中 X 的数量恒大于 Y 的数量。这个 量度了序列总和的大小。
引导式构建
- 现象：观察实际问题时，常遇到“轮换序列仍满足某条件”的情况。例如，在括号串计数或投票序列中发现，序列的循环移位中，满足前缀和非负的数量似乎与总和存在简单关系。
- 猜想：基于观察猜测：如果序列的总和为
，那么恰好有 个循环移位使得前缀和非负。也就是，总和越大，可行的循环起点数量越多。 - 验证：通过小样本测试验证猜想。例如，对于序列
(+1, -1, +1, +1, -1)（总和=+1），枚举所有环形旋转后发现恰有 1 个循环移位使得所有前缀和非负。进一步用“删除相邻 +1–1 对”或“最小前缀和位置”方法可证明一般情况：将序列按环连起来，不断配对去掉一对 (+1, –1)，最终余下正步的数量即为可行起点数。 - 定理：归纳得出正式结论——循环引理：对任意总和为正的序列，总和数即为循环有效移位数。这一结论可以视为 Ballot 定理和 Catalan 数公式的“环形”推广。
- 迁移：将此思路推广到类似问题，如将括号序列看作 +1/–1 序列加一额外步长、或将多种字符映射成数值后应用引理。还可以推广到Raney 引理（Raney Lemma）：特殊地，当总和为 1 时，恰有 1 个循环移位有效；该情况常用于直接构造 Catalan 数等。
典型题型与变式归纳
- 括号序列计数（Catalan 相关）：合法括号串可以视为步长序列（“(”记 +1，“)”记 –1），要求前缀和非负且最终和为 0。循环引理证明当插入一额外“(”后（总和为 +1）恰有 1 个循环移位满足条件，从而导出 Catalan 数公式。类似地，可解决括号串的轮换匹配次数或生成题。
- 投票/随机游走问题：Bertrand 投票问题（候选人 A 票数
，B 票数 ， ），计算 A 始终领先的概率。循环引理给出当循环投票顺序总差为 时，恰有 种循环排列保持 A 永远领先，从而得到概率 。更多随机游走、步长问题都可类比此法。 - 循环移位匹配：字符串或序列的循环移位中寻找满足特定性质的起点。例如，寻找使前缀和达到最小值的下一个位置作为有效起点（最小表示首次走完所有“–1”）。应用循环引理可以计数循环中多少起点合法，或者直接构造这样的位置。典型题目如给定序列求最大合法轮换次数、最小字典序轮换等。
- 路径/格点计数：在网格路径或山峰序列等计数问题中，常需保证路径不下穿或前缀高度非负。将路径的上升/下降看作 +1/–1，总和为
时，循环引理告诉我们有 个环形起点对应满足条件的路径，进而归纳出计数公式。
真实竞赛题示例
- 洛谷 P6672（清华集训 2016）：题意将若干特殊牌和普通牌安排，要求每段前缀和非负。分析中将特殊牌取值
，普通牌记作 ，于是原始序列和为 0，且要求所有前缀和 。)。此时向前插入一个额外的 并将所有数取反，序列总和变为 +1，满足 Raney/循环引理条件。由引理知恰有 1 个循环移位使得前缀和非负，对应原序列只有 1 种合法安排方式。因此通过确定该循环起点位置，可以得到最终答案。 - 提示：类似地，任何合法括号串轮换也满足循环引理的结论：如一个长度为
的括号串，如果按环旋转，其合法前缀和次数等于序列中净步长的一半。利用这一思想，可以直接枚举旋转起点或计数旋转合法的种类。
易错点与实用建议
- 符号与方向：注意循环引理要求总和为正（
）。如果序列总和为非正，原引理不直接适用，此时需对序列进行适当变换（如添加额外元素或正负转换）后再用引理。 - 严格与非严格：使用时要分清 “前缀和严格为正” 还是 “非负” 的要求，必要时可对序列加一位正值（如在开头加一个 +1）来转换条件。
- 最小前缀位置：寻找循环起点的常用技巧是找到前缀和的最小值位置（加一即为起点）。实现时注意序列首尾连通性，细心处理下标和模运算。
- 边界情况：当序列中“+1”“–1”数量差为 1 或更大时，对应可行起点数量为差值。若差为 0（和为 0），则没有正前缀的循环移位。不要将求解公式机械应用在和为 0 的情形。
- 应用建议：比赛中遇到前缀和类轮换问题，第一时间判断序列总和，并尝试将问题转化为满足循环引理条件的形式；然后直接使用“总和 = 有效轮换数”的结论。记忆合适的变换技巧（加元素、正负取反等）和典型例子有助快速建模。